ПЕЬЕРЙЮ
Решетка Бете
Решетка БетеЭфрос А.Л.29.10.2002
В гл. 5 было показано, что пороги протекания некоторых плоских задач могут быть определены точно. Однако нигде не говорилось, что можно найти такую функцию P(x) – вероятность того, что некоторый узел, принадлежит бесконечному кластеру. В настоящее время точные выражения для этой функции (так же, как и для электропроводности сетки) неизвестны ни для плоских, ни для трехмерных задач. Исключение представляет так называемая решетка Бете, которую, как будет показан ниже, следует классифицировать как решетку в пространстве с бесконечным числом измерений. Ниже излагаются постановка и решение задачи узлов на решетке Бете.
Слухи
– возмущался Николай Васильевич Гоголь, описывая, как нелепая сплетня, распущенная двумя дамами, погубила многообещающую авантюру Чичикова. <Это предприятие удалось произвести им с небольшим в полчаса. Город был решительно взбунтован:
Рис. 42. Решетка Бете с q = 3. Светлые кружки – люди категории C, темные – категории T.все пришло в брожение, и хотя бы кто-нибудь мог что-либо понять>.
Слухи, действительно, распространяются со сказочной быстротой. И это перестает быть удивительным, если рассмотреть предлагаемую математическую модель.
Модель изображена на рис. 42, а. Допустим, что некая , обозначенная кружком А, сообщила сведения трем своим знакомым, Б1, Б2 и Б3. Каждый из них передал их еще трем своим знакомым, так что информацию получили 9 человек, обозначенные кружками В. Каждый из этих 9 человек тоже передал информацию трем своим знакомым, в результате чего с ней ознакомились еще 27 человек. Легко подсчитать, что сведения получат З10 = 59 049 человек! Если предположить, что на передачу информации трем своим знакомым каждый человек затратит 20 мин, то получится, что все дело займет 200 мин = 3 ч 20 мин.
Разумеется, эта модель сильно упрощает реально происходящий процесс. Считается, что число знакомых у всех людей одно и то же. Кроме того, предполагается что каждый человек получает сведения только от одного человека. Это значит, что в каждый кружок (рис. 42, а), входит только одна линия. Благодаря этому свойству модель напоминает дерево, бесконечно разветвляющееся во все стороны. Каждый кружок можно считать основанием своего дерева, причем деревья, выросшие, например из кружков Б1, Б2 и Б3, не имеют между собой ни одного общего кружка. То же самое можно сказать и о деревьях, основаниями которых являются кружки В, и т.д.
В научной литературе эта модель так и называется – дерево. Ее называют также решеткой Бете по имени знаменитого физика Ганса Бете. Кружки, изображенные на рис. 42, а, являются узлами этой решетки. Число линий, выходящих из каждого узла решетки Бете, может быть произвольным (но одинаковым для всех узлов). Обозначим это число через q. На рис. 42, а изображена решетка с q = 3.
Вспомним теперь, что большинство людей имеет собственную точку зрения и не участвует в распространении слухов. Разделим всех людей на две категории: к категории С, изображаемой на рисунке светлыми кружками, отнесем людей, передающих полученную информацию своим знакомым (рис. 42, б). Из этих кружков может выходить q стрелок. К категории Т, изображаемой черными кружками, отнесем людей, которые не участвуют в распространении слухов. Из черных кружков (рис. 42, б) не выходит ни одной стрелки.
Наличие черных кружков сильно влияет на продвинжение слуха. Рассмотрим конфигурацию, изображенную на рис. 42, б. Из трех кружков, Б1, Б2, Б3, лишь один оказался светлым и передал слух дальше. Кружки В1, В2 и В3 с удовольствием бы посплетничали, но Б1 и Б3 ничего им не передали. Из В4, В5, В6 к С принадлежит лишь В6. Таким образом, из вторых рук вместо 9 человек слух дошел лишь до трех, причем в следующие руки его передаст лишь В6.
Допустим, что рассматриваемая система ничем не ограничена и имеет бесконечное количество кружков. Тогда можно поставить следующий вопрос. Умрет после конечного числа передач вышедший из точки А слух или он уйдет на бесконечное расстояние от А и в бесконечной системе станет достоянием бесконечного числа лиц? Как видно из рис. 42, б, это зависит от относительного количества светлых и темных кружков и от конфигураций, возникающих в окрестности узла.
По существу речь идет о задаче узлов теории протекания, только сформулированной на решетке Бете. Пусть доля людей категории С равна x. Это значит, что выбранный наугад человек с вероятностью x окажется принадлежащим к категории С и с вероятностью 1–x – к категории Т. Вопрос, который нужно решить, состоит в следующем. Какова вероятность P(x) того, что слух, сообщенный выбранному наугад человеку, станет достоянием бесконечного числа лиц? Ясно, что при малых значениях x эта вероятность равна нулю, но, однако, она становится отличной от нуля, начиная с некоторого критического значения x = xc.
Решение задачи узлов на решетке Бете
Вместо функции P(x) удобно ввести вероятность того, что слух, сообщенный выбранному наугад человеку, не сделается достоянием бесконечного числа лиц. Обозначим эту вероятность через Q(x). Очевидно,
Q(x) = 1–P(x),(1)так как рассматриваемые события образуют полную систему событий.
Для Q(x) можно составить алгебраическое уравнение. Рассуждать нужно следующим образом. Передача слуха может прерываться по двум несовместимым причинам. Первая состоит в том, что выбранный наугад человек окажется из категории Т. Вторая причина состоит в том, что хотя человек окажется из категории С и передаст слух q людям, все каналы, ведущие от этих людей, на разных этапах прервутся. Таким образом, вероятность Q представляет сумму вероятностей двух несовместимых событий. Вероятность того, что выбранный наугад человек окажется из категории Т, равна 1–x. Вероятность того, что он окажется из категории С, но передача слуха прервется на более далеких этапах, обозначим пока через W'. Тогда
Перейдем теперь к вероятности W. Исход, который она описывает, является следствием одновременного осуществления двух событий: 1) выбранный наугад человек оказывается С (вероятность этого события равна x), 2) q каналов, ведущие от знакомых выбранного наугад человека, на каком-нибудь этапе прерываются. Очевидно, эти два события независимы. Поэтому вероятность W' равна произведению вероятностей: W' = xW(x), так что
Q = 1–x+xW(x),(2)где W(x) – вероятность того, что все q каналов на каком-то этапе прерываются (разумеется, этот этап может быть разным у разных каналов).
Рассмотрим один из q каналов, начинающихся с одного из знакомых выбранного наугад человека. Событие, ее состоящее в том, что этот канал где-то прерывается, эквивалентно тому, что слух, сообщенный данному знакомому не станет достоянием бесконечного числа лиц. По определению вероятность этого события равна Q(x).
Для дальнейшего оказывается очень важным, что деревья, основаниями которых являются q знакомых выбранного наугад человека, не имеют общих кружков. Отсюда следует, что если у одного дерева имеется определенна конфигурация светлых и темных кружков, то это не влияет на вероятность любой конфигурации кружков у других деревьев. (Очевидно, что при наличии общих кружков последнее утверждение было бы неверным.) Поэтому события, состоящие в том, что слух прерывается в одном и в другом каналах, независимы.
Таким образом, вероятность того, что все q каналов прерываются, равна произведению вероятностей того, что прерывается по отдельности каждый из q каналов:
W(x) = [Q(x)]q.(3)Подставляя формулу (3) в (2), получаем уравнение для Q(x):
Q(x) = 1–x+x[Q(x)]q.(4)Заметим, что решающим обстоятельством, позволившим свести задачу к алгебраическому уравнению (4), явилась независимость различных каналов. Это свойство присуще исключительно решетке Бете, и потому использованный выше метод в применении к обычным решеткам не приводит к успеху, хотя часто употребляется для получения приближенно правильного решения.
Перейдем к анализу уравнения (4). Оно имеет смысл при всех x в интервале . Перепишем его через P(x) = 1–Q(x). Получим
[1–P(x)]qx+P(x)–х = 0.(5)Одним из решений (5) является P(x) = 0 при всех x, однако уравнение (5) при q > 1 нелинейное и имеет другие решения. В частности, при x = 1 решением является также P(1) = 1, причем физический смысл имеет именно второе решение, так как если все кружки светлые, то вероятность P должна равняться единице, а не нулю.
Решения уравнения (5) легко найти при q = 2. Решений в этом случае два: P(x) = 0 и P(x) = 2 – 1/x. При х > 1/2 физический смысл имеет второе решение. При x < 1/2 оно становится отрицательным и не имеет смысла. Итак, при q = 2 смысл имеет следующее решение:
ПЮЯРБНПХРЕКЭ
ЮБРНАЕРНМНМЮЯНЯШ
ТЕППНЛНКХАДЕМ
ЙНПОНПЮРХБМШИ УПЮМХКХЫЕ ДЮММШИ ЯОХПКХ
sony ericsson k790i ЙСОХРЭ
СОПЮБКЕМХЕ ХБЮМНБН
ПЮЙ ОПНЯРЮРЮ
АЮПАЕЙЧ
РЕЯРНДЕКХРЕКЭ
ЯЙЮВЮРЭ ЙНПНРЙХИ МЮПД
ХЛОКЮМРЮР
НЦМЕГЮЫХРМШИ ЯНЯРЮБ
ЯРНЛЮРНКНЦХВЕЯЙХИ СЯКСЦЮ
БНЯЯРЮМНБКЕМХЕ ХМТНПЛЮЖХЪ
ДЕРЯЙХИ ЛХП wow
ЛЕРПНАНМД
ЙНМЖЕОЖХЪ ЯНБЕПЬЕМЯРБНБЮМХЕ ЯАШРЮ
ПЕЬЕРЙЮ